تسجيل جديد

تسجيل دخول

نسيت كلمة المرور

هل نسيت كلمة المرور؟ الرجاء إدخال بريدك الإلكتروني، وسوف تصلك رسالة عليه حتى تستطيع عمل كلمة مرور جديدة.

يجب تسجيل الدخول لتستطيع إضافة سؤال.

يجب تسجيل الدخول لتستطيع إضافة مقالة.

برجاء توضيح أسباب شعورك أنك بحاجة للإبلاغ.

حل المتباينات والمتراجحات

حل المتباينات والمتراجحات

في هذا المقال سأتحدث عن المتباينات أو المتراجحات وسأذكر خواص المتباينات وكيف يمكن حل المتباينات مع ذكر أمثلة عن المتباينة من الدرجة الأولى وحلها 

ملاحظة : المتباينة والمتراجحة كلمتين لذات المصطلح الرياضياتي .

المتباينات والمتراجحات

بدايةً ماهي المتباينات  what are the inequalities ؟

إذا كان a, b  عددين حقيقيين، وكانت النقطة المقابلة للعدد a تقع على يمين النقطة المقابلة للعدد b على خط الأعداد، فإننا نقول إن العدد a أكبر من العدد b

ونكتب ذلك على شكل a>b، ويكافئ ذلك قولنا إن العدد b أصغر من العدد a .

إن الجمل : a>b , a≥b ( a≥b تعني أن العدد a أكبر أو يساوي العدد b)، a<b , a≤b

وتسمى الإشارات < > ≤ ≥ إشارات المتباينات.

خواص المتباينات والمتراجحات :

إذا كانت a, b, c أعداداً حقيقية ، فإن :

  1. b<a أو b>a أو b=a .
  2. b<a و c<b يؤدي أن c<a .
  3. b<a فإن b+c<a+c لأي عدد حقيقي .
  4. b<a و c>0 فإن bc<ac .
  5. b<a و c<0 فإن bc>ac .

الإشارة ≤ تعني أكبر من أو يساوي ، والإشارة ≥ تعني أصغر من أو يساوي .

تكون كل الخواص السابقة صحيحة إذا وضعنا ≥ بدلاً من > .

إيجاد حلول المتباينات والمتراجحات من الدرجة الأولى :

لإيجاد حل أو مجموعة حلول المتباينة من الدرجة الأولى نقوم بنفس خطوات إيجاد حل المعادلة من الدرجة الأولى مع اختلاف بسيط لنوضح ذلك بالأمثلة أدناه :

بعض الأمثلة في إيجاد حل المتباينات والمتراجحات

  1. أوجد حل المتراجحة (المتباينة) المعطاة بالشكل : 2x+1>2 .

الحل : بداية نضيف لطرفي المتراجحة (-1) فيصبح لدينا 2x+1-1>2-1 بالإصلاح تصبح المتباينة بالشكل 2x>1 

وبضرب طرفي المتباينة ب (1/2) نحصل على x>1/2 

أي أنه أي عدد أكبر من 1/2 يمثل حلاً لهذه المتراجحة ، ومنه مجموعة الحلول في هذا المثال هي جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من ال 1/2 .

2. أوجد حل المتباينة المعطاة بالشكل 3x)+5<4-) .

الحل : نضيف لطرفي المتراجحة (-5) تصبح المتراجحة (المتباينة) بالشكل 3x)+5-5<4-5-) بالإصلاح يكون لدينا 3x<-1-

أخيراً بضرب الطرفين ب (1/3-) يكون x>1/3 .

أي أنه أي عدد أكبر من 1/3 يمثل حلاً لهذه المتراجحة ، ومنه مجموعة الحلول في هذا المثال هي جميع الأعداد الحقيقية الأكبر من ال 1/3 .

ملاحظة: عند ضرب طرفي المتراجحة بعدد سالب يجب أن تغير إشارة المتراجحة كما رأينا في مثال 2.

الفترات (المجالات المفتوحة والمغلقة ونصف المفتوحة ونصف المغلقة):

ماهي الفترة :

أولاً : الفترات المحدودة

إذا كان a, b ∈ R فإن :

  1) الفترة المفتوحة (a,b) : هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية x التي تقع بين a و b ، بحيث لا يكون العددان a و b في هذه المجموعة ونكتب :

(a,b)={ x : a<x<b }

وتمثل على خط الأعداد بالشكل

المتباينات

2) الفترة المغلقة [a,b] : هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية x التي تقع بين a و b ، بما في ذلك a و b ونكتب :

[a,b]={ x : a≤x≤b }

وتمثل على خط الأعداد بالشكل

المتراجحات، الفترةالمغلقة

3) الفترة نصف المفتوحة   (a,b]: هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية x التي تقع بين a و b ، بما في ذلك العدد a ونكتب :

a,b)={ x : a≤x<b }]

وتمثل على خط الأعداد بالشكل

المتباينات والمتراجحات

4) الفترة نصف المفتوحة [a,b) :

هي مجموعة كل الأعداد الحقيقية x التي تقع بين a و b ، بما في ذلك العدد b ونكتب :

a,b]={ x : a<x≤b })

ثانياً: الفترات غير المحدودة :

1) (a,∞) : وهي كل الأعداد الحقيقية x، الأكبر من العدد a نكتبها بالشكل :

(a,∞)={ x: x > a }

2) (b,-∞) : وهي كل الأعداد الحقيقية x، الأكبر من العدد b نكتبها بالشكل :

(b,-∞)={ x: x < b }

3) [a,+∞): وهي كل الأعداد الحقيقية x، الأكبر من العدد a أو تساويه ونكتبها بالشكل :

(a,∞)={ x: x ≥ a }

4)  [b,-∞): وهي كل الأعداد الحقيقية x، الأكبر من العدد b أو تساويه ونكتبها بالشكل :

(b,-∞)={ x: x ≤ b }

ملاحظة : إن ∞+ و ∞- ليسا ضمن الأعداد الحقيقية لذلك يمكن أن نكتب : (∞- , ∞+ ) = R

حمل كتاب المتباينات والمتراجحات PDF من هنا 

 

آخر المقالات

‫اضف تعليق